【精品】海倫公式的證明

篇1：海倫公式的證明

在△ABC中∠A、∠B、∠C對應邊a、b、c

O為其內切圓圓心，r為其內切圓半徑，p為其半周長

有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

r=r

∵r=tanA/2=tanB/2=tanC/2

∴ r

=[++]tanA/2tanB/2tanC/2

=ptanA/2tanB/2tanC/2

=r

∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=/

=p

∴S=√p

篇2：海倫公式的證明

我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則餘弦定理為

cosC = /2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√

=1/2*ab*√[1-^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-^2]

=1/4*√[]

=1/4*√[^2-c^2][c^2-^2]

=1/4*√[]

設p=/2

則p=/2, p-a=/2, p-b=/2,p-c=/2,

上式=√[/16]

=√[p]

所以，三角形ABC面積S=√[p]

篇3：海倫公式的證明

我國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術》中，已經有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由於土地的面積並不是的三角形，要找出它來並非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積?直到南宋，我國著名的數學家秦九韶提出了“三斜求積術”。

秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減後餘數的一半，自乘而得一個數，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減後餘數被4除，所得的數作為“實”，作1作為“隅”，開平方後即得面積。

所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4{a^2*c^2-[/2 ]^2}

當P=1時，△ 2=q,

△=√1/4{a^2*c^2-[/2 ]^2}

因式分解得

△ ^2=1/16[4a^2c^2-^2]

=1/16[ ^2-b ^2][b^ 2-^ 2]

=1/16

=1/16

=1/16 [2p]

=p

由此可得：

S△=√[p]

其中p=1/2

這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫-秦九韶公式”。

S=√1/4{a^2*c^2-[/2 ]^2} .其中c>b>a.

根據海倫公式，我們可以將其繼續推廣至四邊形的面積運算。如下題：

已知四邊形ABCD為圓的內接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積

這裡用海倫公式的推廣

S圓內接四邊形= 根號下

代入解得s=8√ 3