【精品】敘述並證明餘弦定理

 篇1：敘述並證明餘弦定理

平面向量證法

∵如圖，有a+b=c ∴c·c=·

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos

又∵Cos=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ

再拆開，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC

即 CosC=/2*a*b

同理可證其他，而下面的CosC=/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

平面幾何證法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=2+2

b2=2+a2-2ac*cosB+2*c2

b2=*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

cosB=/2ac

篇2：敘述並證明餘弦定理

對於任意三角形，任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C ，則滿足性質——

a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA

b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

cosC = /

cosB = /

cosA = /

第一餘弦定理

設△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有

a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

篇3：敘述並證明餘弦定理

已知三角形的三條邊長，可求出三個內角

已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊。

已知三角形兩邊及其一邊對角，可求其它的角和第三條邊。

判定定理一：

若記m為c的兩值為正根的個數，c1為c的表達式中根號前取加號的值，c2為c的表達式中根號前取

減號的值

①若m=2,則有兩解

②若m=1,則有一解

③若m=0,則有零解。

注意：若c1等於c2且c1或c2大於0，此種情況算到第二種情況，即一解。

判定定理二:

一當a>bsinA時

①當b>a且cosA>0時，則有兩解

②當b>a且cosA<=0時,則有零解

③當b=a且cosA>0時，則有一解

④當b=a且cosA<=0時,則有零解

⑤當b 二當a=bsinA時

①當cosA>0時,則有一解

②當cosA<=0時，則有零解

三當a 例如：已知△ABC的三邊之比為5：4：3，求最大的內角。

解 設三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大邊對大角可知：∠A為最大的角。由余弦定理

cos A=0

所以∠A=90°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之長。

解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以BC=√7.

以上兩個小例子簡單說明了餘弦定理的作用。