十道微積分經典難題

以下是一些微積分的經典難題，供您參考：

1. 設函式f(x)在閉區間[a,b]上連續，證明在開區間(a,b)內至少存在一個點ξ，使得f(ξ)=ξ。

2. 證明若f(x)在[a,b]上連續，且f(a)=f(b)=0，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)>0。

3. 證明：如果函式f(x)在閉區間上連續，那麼它在該區間中至多只有有限個間斷點。

4. 對於一維問題：若某函式的圖象在一個定義域的連續點處的切線是該點的切平行線。試證，這些平行線不可能將函式分割的越來越多。

5. 如果函式f(x)在[a,b]上連續，且∫(a到b) f(x)dx = 0，證明至少存在一個ε>0，使得|f(x)|≥ε對所有a

6. 證明任何一元連續函式f(x)在區間[a,b]上至少存在兩個不同的點c和d，使得f'(c)=f'(d)。

7. 證明：如果函式f(x)在[a,b]上連續，且f(a)g(b)，那麼一定存在c∈(a,b)，使得g(c)=f(c)。

8. 對於在R上的任何兩個連續函式f和g，定義連續函式h：[0,1]→R如下：h(x)={f(x), x∈[0,1]g(x), x∉[0,1]。證明：對於任何連續函式f和任何常數c>0，存在一個非零實數N，使得當n>N時，有h'(n)>c。

9. 設函式f在[a,b]上連續，且最大值為M。證明：至少存在一個c∈(a,b)，使得在c點附近附近一階導數不存在，所以此點的值會下降（會變小）。

10. 對於函式y=e^(-x)證明其圖形至少有一個垂直切線。

這些題目涉及了微積分的基本概念和定理，包括連續性、可導性、積分等概念。對於解決這些題目，可能需要使用極限、導數、積分等相關概念和定理。

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