經典揹包

經典背包問題是一個經典的動態規劃問題。問題描述是這樣的：有若干物品，每個物品有一定的重量，還有一些容器的限制，每個容器也有一定的重量。目標是選擇若干物品放入背包中，使得背包的總重量不超過容器的限制，並且背包內物品的總重量最大。

解決經典背包問題的一種常見方法是使用動態規劃。具體步驟如下：

1. 創建一個二維數組dp，其中dp[i][j]表示在前i個物品中選擇總重量不超過j的物品的最大重量。

2. 初始化dp數組的第一行和第一列，它們分別表示不選物品和選所有物品的情況。

3. 對於每個物品i，遍歷所有可能的放入背包的方案，更新dp數組的值。具體來說，對於第i個物品，如果放入背包，則更新dp[k][j]的值（其中k表示已經選擇的物品數量），其中dp[k][j] = max(dp[k+1][j], dp[k+1][j-w_i] + w_i)，其中w_i是第i個物品的重量。

4. 最後，dp[m][n]就是所求的結果，其中m是物品的數量，n是容器的限制。

這個算法的時間複雜度是O(mn)，其中m是物品的數量，n是容器的限制。因為我們需要遍歷所有的物品和容器的組合。空間複雜度也是O(mn)。

經典背包問題有許多變種和擴展，比如0/1背包問題、多重背包問題等。這些問題也有對應的解決方法。

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