[부티크] 헬렌 식의 증명

제 1 조 : 헬렌의 공식 증명

△ ABC에서 ∠A, ∠B, ∠C는 변 a, b, c에 해당한다.

O는 내접원의 내 중심, r은 내접원의 반경, p는 반원선이다.

tanA / 2tanB / 2 + tanB / 2tanC / 2 + tanC / 2tanA / 2 = 1

r = r

∵r = tanA / 2 = tanB / 2 = tanC / 2

∴ r

= [++] tanA / 2tanB / 2tanC / 2

= ptanA / 2tanB / 2tanC / 2

= r

∴p ^ 2r ^ 2tanA / 2tanB / 2tanC / 2 = pr ^ 3

∴S ^ 2 = p ^ 2r ^ 2 =

= p

∴S = √p

제 2 조 : 헬렌의 공식 증명

우리는 삼각형 수식과 수식 변형을 사용하여 증명합니다. 삼각형의 삼각형 a, b, c의 대각선을 각각 A, B, C라고하면, 코사인 정리는 다음과 같이됩니다.

cosC = / 2ab

S = 1 / 2 * ab * sinC

= 1 / 2 * ab * √

= 1 / 2 * ab * √ [1- ^ 2 / 4a ^ 2 * b ^ 2]

= 1 / 4 * √ [4a ^ 2 * b ^ 2- ^ 2]

= 1 / 4 * √ []

= 1 / 4 * √ [^ 2-c ^ 2] [c ^ 2 ^ ^ 2]

= 1 / 4 * √ []

p = / 2라고하자.

그러면 p = / 2, pa = / 2, pb = / 2, pc = / 2,

위 공식 = √ [/ 16]

= √ [p]

따라서 삼각형 ABC 영역 S = √ [p]

제 3 부 : 헬렌의 공식 증명

송나라의 수학자 인 진 Jiuyi는 또한 "세 가지 경사 축적"을 제안했다. 실제로 Helen의 공식과 동일합니다. 실제로 "9 of Chapters of Arithmetic"에는 삼각형 수식 "bottom of height"가 있습니다. 실제로 토지 면적을 측정 할 때 토지 면적이 삼각형이 아니므로 찾으십시오. 쉽지 않다. 그래서 그들은 삼각형의 세면을 생각했습니다. 이렇게하면 삼각형의 영역을 찾는 것이 훨씬 편리합니다. 그러나 삼자의 길이에 따라 삼각형의 면적을 찾는 방법 남부 송나라 때까지 중국의 유명한 수학자 인 진 지황 (Qin Jiuzhen)은 "세 가지 경사 직각 (three oblique quadrature)"을 제안했다.

진 Jiuyu, 그는 삼각형의 세 측면을 작은 기울기, 중간 기울기 및 큰 기울기로 불렀다. "수술"이 방법입니다. 3- 기울기 직각 법은 작은 사각 사각형과 큰 사각 사각형을 사용하여 중 사각 사각형으로 보내고, 나머지는 위상 빼기 후에 절반을 취하여 곱셈하여 작은 사각 사각형에 큰 사각 사각형을 곱한 다음 위에 보낸다. 그거야. 뺄셈 후 나머지를 4로 나누어 얻은 수를 "실수"로 취하고 1을 "隅"로 취하고 제곱근을 구한 후에 면적을 구합니다.

이른바 "진짜"와 "모퉁이"는 방정식 px 2 = q에서 p는 "隅"이고 q는 "실재"를 의미합니다. △, a, b, c는 삼각형의 면적을 나타내며, 큰 경사, 중간 경사, 작은 경사

q = 1 / 4 {a ^ 2 * c ^ 2 - [/ 2] ^ 2}

P = 1, △ 2 = q 일 때,

△ = √1 / 4 {a ^ 2 * c ^ 2 - [/ 2] ^ 2}

인수 분해

△ 2 = 1 / 16 [4a ^ 2c ^ 2 ^ 2]

= 1 / 16 [^ 2-b ^ 2] [b ^ 2 ^ 2]

= 1 / 16

= 1 / 16

= 1 / 16 [2p]

= p

이것은 얻을 수있다 :

S △ = √ [p]

여기서 p = 1 / 2

이것은 헬렌 공식과 완전히 일치하므로이 공식은 "헬렌 - 진 Jiuyi 공식"이라고도합니다.

S = √1 / 4 {a ^ 2 * c ^ 2 - [/ 2] ^ 2}. 여기서 c> b> a.

Helen 공식에 따르면, 우리는 사변형의 면적 계산으로 그것을 계속 일반화 할 수 있습니다. 다음 질문 :

사변형 ABCD는 원형 내 접형 사변형이며, AB = BC = 4, CD = 2, DA = 6이며, 사변형 ABCD의 면적이 얻어지는 것으로 알려져있다.

헬렌의 공식을 홍보하는 방법은 다음과 같습니다.

S 동그라미 각을 이루는 사변형 = 뿌리 밑

대치 해 s = 8√ 3